1.6. сила лобового сопротивления. коэффициент формы снаряда
Можно с уверенностью предположить, что скорости вращательного движения снаряда мало сказываются на величине силы лобового сопротивления и их влиянием можно пренебречь. Тогда выражение для силы лобового сопротивления запишется в виде
где -- площадь поперечного сечения снаряда;
Cx — функция лобового сопротивления.
Эксперименты показывают, что величина Cx сильно зависит от формы обтекаемого тела и должна быть определена для каждой конкретной формы. Но для тел, близких по форме к современным пулям и снарядам, в довольно широком диапазоне скоростей можно найти достаточно постоянный коэффициент пропорциональности. Это позволяет для класса наиболее характерных снарядов определить эталонную функцию лобового сопротивления . В этом случае функцию лобового сопротивления для данного типа снарядов можно выразить через эталонную функцию:
(1.6.1)
где i — коэффициент формы снаряда, определяемый некоторым средним значением для данного диапазона скоростей.
Параметр l/d в этой формуле отсутствует, так как он также
характеризует
форму снаряда. Введение коэффициента формы позволяет произвести
дальнейшие упрощения в записи функции сопротивления. Как показывают
эксперименты, величина и характер этой функции слабо зависят от
калибра снаряда, состояния его поверхности (шероховатости) и,
следовательно, от числа Рейнольдса. Кроме того, поскольку функция
сопротивления определяется стрельбами, т. е. при вполне определенном
среднем значении угла нутации
то можно считать значения углов нутации в правой и левой частях
равенства (1.6.1) одинаковыми, а имеющееся различие учесть с помощью
коэффициента формы. Таким образом, можно написать
Коэффициент формы в этом случае выступает еще и как функция калибра и
среднего угла нутации. Как диапазон скоростей, так и средний угол
нутации могут меняться от выстрела к выстрелу в зависимости от
начальных параметров траектории. Должен меняться вместе с ним и
коэффициент формы. Принимая постоянным его среднее значение на
основании стрельб при определенных угле бросания и начальной скорости,
мы тем самым вносим ошибки во все остальные траектории с другими
начальными параметрами. Эти ошибки будут тем больше, чем в большей
степени форма снаряда, его калибр и характер движения около центра
масс отличаются от соответствующих характеристик эталонных снарядов,
т. е. чем больше коэффициент формы отличается от единицы.
В настоящее время можно встретить таблицы функции
к
законам Сиаччи, 1930 г. и 1943 г. (см. приложение II), причем последний
наиболее приемлем для вычисления траекторий пуль и снарядов современной
обтекаемой формы. Для оперенных снарядов и ракет определен закон 1958
г.
Итак, коэффициент формы снаряда как коэффициент согласования с опытом является функцией аэродинамической формы снаряда, калибра орудия, состояния поверхности (шероховатости) снаряда и характера движения его около центра масс.
При некоторых условиях стрельбы углы нутации могут достигать довольно
больших значений и в этом случае приходится учитывать влияние их на
величину функции сопротивления. Разложим
значение функции в ряд Тейлора.
Поскольку Cx не должна менять своего знака при изменении знака δ, то в разложении должны участвовать только члены с четными степенями параметра. После разложения и нескольких преобразований получим
где Cx0 —значение функции лобового сопротивления при δ = 0; аi — коэффициенты разложения.
В ряде (1.6.2) достаточно ограничиться двумя первыми членами. Коэффициент аi определяется экспериментально, его значение находится в пределах 10—20. Для 7,62-мм винтовочной нули аi =13. Таким образом, при δ = 0,1 рад (5,7°) сила лобового сопротивления движению пули возрастает на 13% по сравнению с полетом при нулевом угле нутации.
1.7. Ускорение силы сопротивления воздуха. Баллистический коэффициент снаряда
Определим ускорение, вызываемое силой лобового сопротивления,
Перепишем эту формулу в виде
Обозначив получим
где — плотность воздуха у Земли согласно параметров стандартной атмосферы.
По ГОСТ 4401—73 величина gρoc= 1,225 кг/м3, тогда
Где с — баллистический коэффициент снаряда,
Поскольку наиболее употребительна функция зависимость (1.7.1) можно представить в виде
Где
Анализируя формулу (1.7.1), замечаем, что все параметры снаряда — масса, калибр и особенности формы — объединены в баллистический коэффициент
который является важнейшей характеристикой снаряда. Два снаряда с равными баллистическими коэффициентами испытывают
одинаковые
ускорения земного тяготения и силы лобового сопротивления.
Следовательно, при прочих равных условиях траектории таких снарядов
будут одинаковыми.
Отрицательное ускорение силы сопротивления тем больше, чем значительнее
баллистический коэффициент, следовательно, снаряд с большим значением C
будет иметь меньшую дальность полета. Помимо коэффициента формы i
баллистический коэффициент
зависит еще от «поперечной нагрузки» ( точнее, от ).
Чем больше эта нагрузка, тем меньше баллистический коэффициент, тем
выгоднее снаряд в баллистическом отношении. Увеличить поперечную
нагрузку можно, например, за счет увеличения длины снаряда без
изменения калибра. Однако длина снарядов, стабилизированных вращением,
ограничена возможностью обеспечить устойчивость движения около центра
масс. Для вращающихся снарядов . Значительно большую длину можно назначить для оперенных снарядов.
Определим зависимость баллистического коэффициента от калибра орудия. Масса снаряда связана с калибром по формуле
где С q — коэффициент массы.
Для калиберных снарядов , т. е. коэффициент массы меняется в довольно узких пределах. Из выражений (1.7.4) и (1.7.3) найдем
т. е. с увеличением калибра баллистический коэффициент уменьшается. В
диапазоне изменения диаметров пуль и снарядов d= (5,45 ÷ 400) мм
и i43 = 0,8 ÷ 1,5 баллистический коэффициент меняется в пределах C = 0,15 ÷ 10.
1.8. общие зависимости для аэродинамических сил и моментов
На основании изложенного в параграфах 1.5—1.7 для силы лобового сопротивления можно записать:
Аналогичный вид имеют и выражения для остальных сил и моментов.
Можно предположить, что величина нормальной составляющей силы сопротивления воздуха RN также слабо зависит от угловых скоростей вращательного движения и числа Re. Тогда
Из физических соображений следует, что сила RN находится
в прямой зависимости от параметра . Преобразуя это выражение так же, как и в случае лобового сопротивления, получим
В отличие от силы лобового сопротивления, величина RN зависит не от площади поперечного сечения, а от площади осевого сечения, характеризуемого произведением dl.
Для сверхзвуковых скоростей функцию двух переменных с достаточной степенью точности можно заменить произведением двух функций:
При разложении функции по степеням δ около значения угла δ = 0 следует учитывать, что при изменении знака угла δ знак силы RN меняется на обратный. Это значит, что в разложении необходимо удерживать только члены с нечетными степенями δ.
Рис. 6. Экспериментальная зависимость для винтовочнои пули при малых углах нутации
Ограничиваясь двумя членами ряда, запишем:
Где —функция нормальной силы (рис. 6);
a2 — опытный коэффициент, определяемый по результатам стрельб при больших углах нутации. Для винтовочной пули a2 приближённо = -0,35.
Значение силы Магнуса зависит прежде всего от скорости
вращения снаряда относительно полярной оси и угла нутации. Поскольку
происхождение этой силы связано с циркулирующим потоком, вызванным
трением корпуса вращающегося снаряда о воздух, сила Магнуса связана с
числом Рейнольдса. Однако при больших числах Рейнольдса, которые
характерны для движения снаряда в воздухе, силы трения слабо меняются
в случае изменения величины Re, поэтому данные, полученные при одних
скоростях, можно переносить на другие в довольно большом диапазоне.
Таким образом, справедлива запись:
Если еще предположить прямую пропорциональность силы Магнуса от трех последних безразмерных параметров, то окончательно получим
Коэффициент Кма определен только при малых скоростях и равен 1,4*10E-2.
Можно также предположить, что опрокидывающий момент зависит от параметров причем от второго - прямо пропорционально. Зависимость от угла нутации представим произведением на некоторую функцию fM(δ).
Рис. 7. Характерные размеры снаряда, используемые для вычисления плеча опрокидывающего момента h
Во внешней баллистике вместо полной длины снаряда l вводится
плечо аэродинамической силы h, что вызвано стремлением получить
одинаковые значения функции опрокидывающего момента
различных формах снаряда и одной и той же ско
рости.
Выражение для момента имеет вид
— Функции, подлежащие опытному определению.
Плечо аэродинамической силы для вращающихся снарядов находим по эмпирическим формулам:
Где h1 — расстояние от центра масс (ЦМ) до начала оживальной части (рис. 7); hr — длина оживальной части; V — объем тела;
lц — расстояние от дна до центра масс; fд — площадь дна; d — калибр.
Первая формула имеет самый простой вид, последняя — наиболее полно
отражает параметры снаряда и лучше согласует данные эксперимента для
разных видов снарядов. Таблицы значений
функции составляются для вполне определенного спо
соба подсчета плеча h, что должно быть оговорено (табл. 2).
Величина h не является постоянной, а зависит от скорости движения снаряда и угла нутации. Влияние скорости учитывается в значении функции а влияние угла нутации — через функцию , вид которой пока не изучен. В исследованиях чаще всего берут линейную зависимость опрокидывающего момента от угла δ или выбирают вид функции fM(δ) так, чтобы уравнения движения снаряда около центра масс сводились к интегрируемым в аналитическом виде. Например:
Где δ = 1,6 (для винтовочной пули).
Демпфирующий момент зависит от угловой скорости поворота снаряда и его
длины. Предполагая прямую пропорциональную зависимость от
соответствующих факторов, получим
Ориентировочно
Момент поверхностного трения зависит в основном от длины снаряда и угловой скорости вращения относительно полярной оси:
Для оценки влияния этого момента на движение снаряда можно принять Кг
= 2*10E-6. Момент поверхностного трения мал по сравнению с демпфирующим
моментом и оба они малы по сравнению с опрокидывающим моментом,
который для вращающихся снарядов является основным аэродинамическим
моментом. Для оперенных снарядов демпфирующий момент MD имеет большее значение и может оказать существенное влияние на движение снаряда около центра масс.
1.9. реактивные сила и момент
Если в момент времени t масса ракеты имеет величину m, а ее скорость v, то к моменту t+dt масса будет m—dm, а скорость v+dv, причем масса dm приобретает скорость v-u, где u — скорость истечения газов из сопла. Приращение количества движения за промежуток времени dt равно импульсу суммы аэродинамических и аэростатических сил ΣR, действующих на снаряд:
Пренебрегая малыми второго порядка и разделив обе части равенства на dt, получим
Это уравнение было впервые опубликовано в 1897 г. русским
ученым И. В. Мещерским. Член представляет собой реактивную силу.
Для современных пороховых ракетных двигателей u=1700 ÷ 1900 м/с.
Поскольку сила тяжести и аэродинамические силы действуют на ракету так
же, как и на снаряд постоянной массы, из сил, входящих под знак суммы в
уравнении (1.9.1), выделим силы, обусловленные разностью атмосферного
давления ра и давления на срезе сопла рс (рис. 8).
Тогда соотношение (1.9.1) примет вид
Где Sc — площадь выходного сечения сопла; ΣRад — сумма аэродинамических сил.
Величину силы, называемой стендовой тягой двигателя, найдем но формуле
Где ue — эффективная скорость истечения,
Для современных пороховых снарядов uе = 1800 ÷ 2100 м/с при давлении рс = 2 ÷ 7 атм. Поскольку наружное давление ра меняется с высотой, то величины uе
и P также зависят от высоты. Однако эта зависимость значительно слабее,
чем для аэродинамических сил, и мы будем ею пренебрегать.
Реактивные снаряды, так же как и снаряды постоянной массы, могут стабилизироваться вращением. С этой целью ракета снабжается n наклонными соплами, расположенными по окружности диаметром d,c (рис. 9).
В этом случае реактивная сила
А реактивный вращающий момент
При решении задачи внешней баллистики значения Р и Мр можно считать постоянными.
Кроме того, вследствие движения струи вдоль корпуса, колеблющегося
относительно продольной оси, на снаряд оказывает демпфирующее
воздействие момент кориолисова ускорения. Однако в плотных слоях
атмосферы его величина мала по сравнению с аэродинамическим
демпфирующим моментом и мы будем им пренебрегать.
Большое влияние на полет снаряда оказывает момент от эксцентриситета
силы тяги - величины случайной. Этот момент вызывает рассеивание
снарядов.
1.10. ускорение реактивной силы
Запишем ускорение силы тяги с учетом формулы (1.9.2) в виде
Переменная масса снаряда имеет значение
m(t)= m0 - m(t) где
m0 - начальная масса снаряда;
m - секундный расход массы.
Если полное время горения заряда τ, то масса снаряда в конце горения
Где ω — масса пороховой шашки.
Преобразуем выражение для массы снаряда:
Введем новую переменную тогда
При m = const должно быть поэтому
Отношение
важная характеристика для проектирования реактивных снарядов. С его
ростом увеличивается скорость движения снаряда и дальность его полета,
однако снижается относительная масса боевой части.
С учетом принятых обозначений формула (1.10.1) примет вид
Отсюда следует, что ускорение силы тяги повышается с увеличением относительной массы заряда и эффективной скорости истечения.
В выражении (1.7.3) для
баллистического коэффициента масса реактивного снаряда будет
переменной. С учетом ранее принятых обозначений можем записать
Кроме того, следует учитывать, что истекающие из сопла газы не
позволяют образоваться вакууму за донным срезом снаряда и потому для
реактивного снаряда донное сопротивление практически отсутствует. Это
обстоятельство можно учесть соответствующим изменением коэффициента
формы.
1.11. ПОЛНЫЙ ИМПУЛЬС РЕАКТИВНОЙ силы И ЕДИНИЧНЫЙ ИМПУЛЬС ДВИГАТЕЛЯ
Полным импульсом реактивной силы называют интегральную характеристику кривой тяги двигателя Р по времени:
где τ — время работы ракетного двигателя.
Если тяга двигателя примерно постоянная в течение всего времени его работы, то
Величина полного импульса комплексно характеризует эффективность работы порохового ракетного двигателя с учетом уровня развиваемой им тяги и времени действия ее на снаряд.
Важнейшей характеристикой порохового ракетного двигателя принято считать величину, показывающую, какой импульс сообщается ракете при сгорании в двигателе 1 кг пороха. Эта величина называется единичным импульсом
Выражая массу ω через секундный расход и полное время работы двигателя (ω = mτ) и учитывая соотношение (1.11.1), получим
Далее, с учетом формул (1.10.1) и (1.10.2) имеем
Подставляя это значение в уравнение (1.11.2), окончательно получим
Единичный импульс следует считать основным критерием оценки эффективности ракетного топлива. Поскольку в заданиях чаще всего указывается именно этот импульс, то выразим через него ускорение силы тяги